Was ist Konsonanz?

In der vorherigen Anmerkung haben wir herausgefunden, wie Sound funktioniert. Wiederholen wir diese Formel:

KLANG = GRUNDTON + ALLE MEHRFACHEN OBERTÖNE

Da die Japaner die Kirschblüten bewundern, werden wir außerdem den Frequenzganggraphen bewundern – die Amplituden-Frequenz-Charakteristik des Klangs (Abb. 1):

Denken Sie daran, dass die horizontale Achse die Tonhöhe (Oszillationsfrequenz) und die vertikale Achse die Lautstärke (Amplitude) darstellt.

Jede vertikale Linie ist eine Harmonische, die erste Harmonische wird normalerweise als Grundwelle bezeichnet. Harmonische sind wie folgt angeordnet: Die zweite Harmonische ist 2-mal höher als der Grundton, die dritte ist drei, die vierte ist vier und so weiter.

Der Kürze halber statt „Häufigkeit nOberton“ sagen wir einfach „nOberton“ und statt „Grundfrequenz“ – „Schallfrequenz“.

Wenn wir uns also den Frequenzgang ansehen, wird es uns nicht schwer fallen, die Frage zu beantworten, was Konsonanz ist.

Wie kann man bis unendlich zählen?

Konsonanz bedeutet wörtlich „Mitklingen“, gemeinsames Erklingen. Wie können zwei verschiedene Klänge zusammen klingen?

Lassen Sie uns sie auf demselben Diagramm untereinander zeichnen (Abb. 2):

Hier ist die Antwort: Einige der Harmonischen können in der Frequenz zusammenfallen. Es ist logisch anzunehmen, dass je mehr übereinstimmende Frequenzen, desto mehr "gemeinsame" Klänge haben und folglich mehr Konsonanz im Klang eines solchen Intervalls. Um ganz genau zu sein, ist nicht nur die Anzahl der passenden Harmonischen wichtig, sondern welcher Anteil aller klingenden Harmonischen passt, also das Verhältnis der Anzahl der passenden zur Gesamtzahl der klingenden Harmonischen.

Wir erhalten die einfachste Formel zur Berechnung der Konsonanz:

woher N_sovp ist die Anzahl der passenden Harmonischen,  N_verbreitet ist die Gesamtzahl der klingenden Harmonischen (die Anzahl der unterschiedlich klingenden Frequenzen) und Nachteile und ist unsere gewünschte Konsonanz. Um mathematisch korrekt zu sein, ist es besser, die Menge zu nennen ein Maß für die Frequenzkonsonanz.

Nun, die Sache ist klein: Sie müssen rechnen N_sovp и N_verbreitet, teilen Sie sie durcheinander und erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.

Das einzige Problem ist, dass sowohl die Gesamtzahl der Harmonischen als auch die Anzahl der passenden Harmonischen unendlich ist.

Was passiert, wenn wir unendlich durch unendlich teilen?

Ändern wir den Maßstab des vorherigen Diagramms, „bewegen“ uns davon (Abb. 3).

Wir sehen, dass immer wieder passende Harmonische auftreten. Das Bild wird wiederholt (Abb. 4).

Diese Wiederholung wird uns helfen.

Es genügt uns, das Verhältnis (1) in einem der gepunkteten Rechtecke (z. B. im ersten) zu berechnen, dann bleibt dieses Verhältnis aufgrund von Wiederholungen und auf der ganzen Linie gleich.

Der Einfachheit halber wird die Frequenz des Grundtons des ersten (tieferen) Tons als gleich Eins betrachtet, und die Frequenz des Grundtons des zweiten Tons wird als irreduzibler Bruch geschrieben  .

Lassen Sie uns in Klammern anmerken, dass in Musiksystemen in der Regel gerade Klänge verwendet werden, deren Frequenzverhältnis durch einen Bruchteil ausgedrückt wird  . Beispielsweise ist das Intervall einer Quinte das Verhältnis  , Liter –  , Triton —   usw.

Berechnen wir das Verhältnis (1) innerhalb des ersten Rechtecks ​​(Abb. 4).

Es ist ziemlich einfach, die Anzahl der übereinstimmenden Harmonischen zu zählen. Formal gibt es zwei davon, einer gehört zum unteren Ton, der zweite – zum oberen, in Abb. 4 sind sie rot markiert. Aber diese beiden Harmonischen klingen jeweils auf der gleichen Frequenz, wenn wir die Anzahl der übereinstimmenden Frequenzen zählen, dann gibt es nur eine solche Frequenz.

Wie groß ist die Gesamtzahl der erklingenden Frequenzen?

Lassen Sie uns so argumentieren.

Alle Obertöne des tieferen Tons sind ganzzahlig angeordnet (1, 2, 3 usw.). Sobald eine Harmonische des oberen Tons eine ganze Zahl ist, fällt sie mit einer der Harmonischen des unteren Tons zusammen. Alle Obertöne des Obertons sind Vielfache des Grundtons , also die Frequenz n-te Harmonische ist gleich:

das heißt, es wird eine Ganzzahl sein (seit m ist eine ganze Zahl). Das bedeutet, dass der obere Ton im Rechteck Obertöne vom ersten (Grundton) bis hat n-Oh, also, Ton n Frequenzen.

Da alle Harmonischen des tieferen Tons ganzzahlig angeordnet sind, und gemäß (3), tritt die erste Koinzidenz bei der Frequenz auf m, stellt sich heraus, dass der untere Ton innerhalb des Rechtecks ​​nachgibt m klingende Frequenzen.

Es sollte beachtet werden, dass die übereinstimmende Frequenz m wir zählten wieder zweimal: als wir die Frequenzen des oberen Tons zählten und als wir die Frequenzen des unteren Tons zählten. Aber tatsächlich ist die Frequenz eins, und für die richtige Antwort müssen wir eine „zusätzliche“ Frequenz subtrahieren.

Die Summe aller klingenden Frequenzen innerhalb des Rechtecks ​​ist:

Setzen wir (2) und (4) in Formel (1) ein, erhalten wir einen einfachen Ausdruck zur Berechnung der Konsonanz:

Um die Konsonanz der von uns berechneten Klänge hervorzuheben, können Sie diese Klänge in Klammern angeben Nachteile:

Mit solch einer einfachen Formel können Sie die Konsonanz jedes Intervalls berechnen.

Betrachten wir nun einige Eigenschaften der Frequenzkonsonanz und Beispiele für ihre Berechnung.

Eigenschaften und Beispiele

Lassen Sie uns zuerst die Konsonanzen für die einfachsten Intervalle berechnen und sicherstellen, dass Formel (6) „funktioniert“.

Welches Intervall ist das einfachste?

Definitiv prima. Zwei Töne erklingen unisono. Auf einem Diagramm sieht es so aus:

Wir sehen, dass absolut alle klingenden Frequenzen zusammenfallen. Daher muss die Konsonanz gleich sein:

Lassen Sie uns nun das Verhältnis durch das Unisono ersetzen  in Formel (6) erhalten wir:

Die Berechnung deckt sich mit der zu erwartenden „intuitiven“ Antwort.

Nehmen wir ein weiteres Beispiel, bei dem die intuitive Antwort ebenso offensichtlich ist – die Oktave.

In einer Oktave ist der obere Ton 2-mal höher als der untere (entsprechend der Frequenz des Grundtons) bzw. in der Grafik sieht es so aus:

Aus der Grafik ist ersichtlich, dass jede zweite Harmonische zusammenfällt, und die intuitive Antwort lautet: Die Konsonanz beträgt 50%.

Berechnen wir es nach Formel (6):

Und wieder ist der errechnete Wert gleich dem „Intuitiven“.

Nehmen wir die Note als tieferen Ton zu und tragen Sie den Konsonanzwert für alle Intervalle innerhalb der Oktave in das Diagramm ein (einfache Intervalle), erhalten wir folgendes Bild:

Die höchsten Konsonanzmaße liegen in der Oktave, der Quinte und der Quarte. Sie beziehen sich historisch auf „perfekte“ Konsonanzen. Die kleine und große Terz sowie die kleine und große Sexte sind etwas tiefer, diese Intervalle gelten als „unvollkommene“ Konsonanzen. Die restlichen Intervalle haben einen geringeren Konsonanzgrad, sie gehören traditionell zur Gruppe der Dissonanzen.

Nun listen wir einige Eigenschaften des Maßes der Frequenzkonsonanz auf, die sich aus der Formel zu seiner Berechnung ergeben:

1. Je komplexer das Verhältnis  (je mehr Zahl m и n), desto weniger konsonant das Intervall.

И m и n in Formel (6) sind im Nenner, daher nimmt das Konsonanzmaß ab, wenn diese Zahlen zunehmen.

2. Die Aufwärtskonsonanz des Intervalls ist gleich der Abwärtskonsonanz des Intervalls.

Um ein Abwärtsintervall anstelle eines Aufwärtsintervalls zu erhalten, benötigen wir das Verhältnis   tauschen m и n. Aber in Formel (6) ändert sich durch einen solchen Ersatz absolut nichts.

3. Das Maß für die Frequenzkonsonanz eines Intervalls hängt nicht davon ab, aus welcher Note wir es aufbauen.

Wenn Sie beide Noten um das gleiche Intervall nach oben oder unten verschieben (z. B. eine Quinte nicht aus einer Note bilden). zu, aber aus der Notiz ре), dann das Verhältnis  zwischen den Noten ändert sich nicht, und folglich bleibt das Maß der Frequenzkonsonanz gleich.

Wir könnten der Konsonanz noch andere Eigenschaften geben, aber wir beschränken uns vorerst auf diese.

Physik und Texte

Abbildung 7 gibt uns eine Vorstellung davon, wie Konsonanz funktioniert. Aber nehmen wir so wirklich die Konsonanz von Intervallen wahr? Gibt es Menschen, die keine perfekten Konsonanzen mögen, aber die dissonantesten Harmonien angenehm erscheinen?

Ja, solche Leute gibt es sicherlich. Und um dies zu erklären, sollten zwei Konzepte unterschieden werden: körperliche Übereinstimmung и empfundener Gleichklang.

Alles, was wir in diesem Artikel betrachtet haben, hat mit physikalischer Konsonanz zu tun. Um es zu berechnen, müssen Sie wissen, wie der Klang funktioniert und wie sich verschiedene Vibrationen addieren. Die physikalische Konsonanz liefert die Voraussetzungen für die wahrgenommene Konsonanz, bestimmt sie aber nicht zu 100%.

Die wahrgenommene Konsonanz wird sehr einfach bestimmt. Eine Person wird gefragt, ob ihr diese Konsonanz gefällt. Wenn ja, dann ist es für ihn Konsonanz; wenn nicht, ist es Dissonanz. Wenn ihm zwei Intervalle zum Vergleich gegeben werden, dann können wir sagen, dass das eine der Person im Moment konsonanter erscheint, das andere weniger.

Kann die wahrgenommene Konsonanz berechnet werden? Selbst wenn wir davon ausgehen, dass es möglich ist, dann wird diese Rechnung katastrophal kompliziert, sie schließt eine weitere Unendlichkeit ein – die Unendlichkeit eines Menschen: seine Erfahrung, Höreigenschaften und Gehirnfähigkeiten. Mit dieser Unendlichkeit ist nicht so einfach umzugehen.

Die Forschung auf diesem Gebiet ist jedoch im Gange. Insbesondere der Komponist Ivan Soshinsky, der freundlicherweise Audiomaterial für diese Noten zur Verfügung stellt, hat ein Programm entwickelt, mit dem Sie für jede Person eine individuelle Karte der Wahrnehmung von Konsonanzen erstellen können. Derzeit wird die Seite mu-theory.info entwickelt, auf der jeder die Eigenschaften seines Gehörs testen und erfahren kann.

Und doch, wenn es eine wahrgenommene Konsonanz gibt und sie sich von der physischen unterscheidet, welchen Sinn hat es dann, letztere zu berechnen? Wir können diese Frage konstruktiver umformulieren: Wie hängen diese beiden Konzepte zusammen?

Studien zeigen, dass die Korrelation zwischen durchschnittlich wahrgenommenem Gleichklang und physischem Gleichklang in der Größenordnung von 80 % liegt. Dies bedeutet, dass jeder Mensch seine eigenen individuellen Eigenschaften haben kann, aber die Physik des Klangs leistet einen überwältigenden Beitrag zur Definition von Konsonanz.

Natürlich steht die wissenschaftliche Forschung auf diesem Gebiet noch ganz am Anfang. Und als Klangstruktur haben wir ein relativ einfaches Modell mehrerer Harmonischer genommen, und die Berechnung der Konsonanz wurde mit der einfachsten – Frequenz – verwendet und berücksichtigte nicht die Besonderheiten der Gehirnaktivität bei der Verarbeitung des Klangsignals. Aber die Tatsache, dass auch im Rahmen solcher Vereinfachungen ein sehr hoher Grad an Korrelation zwischen Theorie und Experiment erreicht wurde, ist sehr ermutigend und regt zu weiterer Forschung an.

Die Anwendung der wissenschaftlichen Methode im Bereich der musikalischen Harmonielehre beschränkt sich nicht nur auf die Konsonanzberechnung, sie liefert auch interessantere Ergebnisse.

Beispielsweise kann mit Hilfe der wissenschaftlichen Methode musikalische Harmonie grafisch dargestellt, visualisiert werden. Wie das geht, besprechen wir beim nächsten Mal.

Autor – Roman Oleinikov